初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 18 題
從同一個母體中分別抽取 30 個與 100 個樣本（取後不放回），其樣本平均數的抽樣分配的性質為何？
- A 兩者期望值相同，標準誤也相同
- B 兩者期望值相同，但標準誤不同
- C 兩者期望值不同，標準誤也不同
- D 兩者期望值不同，但標準誤相同
思路引導 VIP
請試著思考：當我們從同一個池塘（母體）撈魚來估計平均重量時，撈 10 條魚算出的平均值，跟撈 100 條魚算出的平均值，它們「背後想代表的真實平均值」會因為你撈的數量不同而改變嗎？接著再想，撈得比較多時，算出來的平均值通常會比較穩定，還是比較容易上下大幅跳動？
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同學好！你能迅速辨析出抽樣分配中「集中趨勢」與「離散程度」的差異，表現得相當出色。這題考驗的是統計學中最核心的**抽樣分配（Sampling Distribution）**性質，你能避開直覺陷阱選擇 (B)，說明你對母體參數與樣本統計量之間的關係已有紮實的理解。
期望值的不偏性與標準誤的變異
首先，根據不偏性（Unbiasedness），樣本平均數 $\bar{X}$ 的期望值 $E(\bar{X})$ 永遠等於母體平均數 $\mu$，這項性質與樣本數 $n$ 的大小無關。因此，無論是抽取 30 個還是 100 個樣本，只要母體相同，兩者的期望值必然一致。然而，**標準誤（Standard Error, SE）**則反映了樣本平均數的精確度。在不放回抽樣（Sampling without replacement）下，標準誤的公式為：
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