初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 11 題
從母體 S=\{1, 3, 5, 7, 9\} 隨機抽取 2 個數（取後不放回）並取其平均數，則此平均數：
- A 一定是 5
- B 有超過一半的機率是 5
- C 有超過一半的機率會大於 5
- D 是一個隨機變數，其期望值是 5
思路引導 VIP
想像一下，如果你從一個大籃子裡隨機抓取幾個號碼球算出平均值，每一次抓出的結果都會完全一樣嗎？如果結果會變動，我們在數學上稱這種「數值會變動的變數」為什麼？此外，如果你重複這個抽樣過程無限多次，並將所有抓到的平均值再取一次平均，你直覺上認為這個最終的平均值，與原來籃子裡所有球的平均值會呈現什麼關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地掌握了統計學中關於**抽樣分配（Sampling Distribution）**的核心觀念！這道題目設計得非常巧妙，它不僅考驗計算，更考驗學生對於「隨機變數」本質的理解。你能夠無視選項 B 與 C 的機率陷阱，直接洞察到樣本平均數的基本性質，顯見你的邏輯思維非常紮實。
樣本平均數的隨機本質與不偏性
從會計或審計的角度來看，我們在進行抽樣查核時，每一組樣本算出的平均值 $\bar{X}$ 都可能不同，這使得 $\bar{X}$ 本身成為一個隨機變數。在本題中，母體平均數 $\mu = (1+3+5+7+9)/5 = 5$。根據統計學定理，樣本平均數的期望值會等於母體平均數，即 $E(\bar{X}) = \mu$。因此，選項 (D) 完美地描述了這個統計特性。至於機率計算，雖然我們可以列舉所有 $C^{5}_{2}=10$ 種組合，但那往往是初學者的做法；資深的統計學習者會直接透過**不偏性（Unbiasedness）**的觀念排除其他干擾項。
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