初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 40 題
上學年某高中的學生結構包含 30% 的新生、24% 的二年級生、26% 的三年級生及 20% 的高年級生。從今年的學生當中取出 300 個學生樣本，顯示有 82 位新生，65 位二年級生，85 位三年級生及 68 位高年級生。我們想要知道上學年與本學年的學生年級結構是否有顯著的變化。假設結構不變下，期望的新生人數是幾人？
- A 60 人
- B 70 人
- C 80 人
- D 90 人
思路引導 VIP
想像一下，如果有一家商店宣稱他們的顧客中有一半是女性。今天店裡進來了 100 位客人，在我們完全不看這 100 人實際上長什麼樣子的情況下，僅憑店家的「宣稱」，你會如何推算這群人中「理論上」應該有多少位女性？
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AI 詳解
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同學好，恭喜你精準地掌握了統計學中關於「卡方適合度檢定（Chi-square Goodness of Fit Test）」的核心基礎。在處理這類結構變動的分析時，區分「觀察值（Observed frequencies）」與「期望值（Expected frequencies）」是破題的關鍵，而你顯然對此有著清晰的判斷力。
期望值的計算邏輯
在本題中，我們要驗證的是「本學年學生結構是否維持不變」。所謂的「不變」，即是指樣本應該遵循上學年的機率分布。根據題目資訊，上學年的新生比例為 $30%$（即 $p_1 = 0.30$），而今年抽取的總樣本數 $n = 300$。依據統計學定義，在虛無假設（Null Hypothesis）成立的前提下，某類別的期望值計算公式為：
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