高中學測
115年
數B
第 20 題
📖 題組：
18-20 題為題組 有一張星軌照片，照片中的星星各自繞著以北極星為圓心且以逆時鐘方向旋轉 $90^\circ$ 角所畫出的圓弧軌跡。在此照片所設的坐標平面上令北極星為點 $P$。已知甲星軌跡的起點、終點坐標分別為 $(8,0)$、$(0,0)$，軌跡如圖所示。根據上述，試回答下列問題。
18-20 題為題組 有一張星軌照片，照片中的星星各自繞著以北極星為圓心且以逆時鐘方向旋轉 $90^\circ$ 角所畫出的圓弧軌跡。在此照片所設的坐標平面上令北極星為點 $P$。已知甲星軌跡的起點、終點坐標分別為 $(8,0)$、$(0,0)$，軌跡如圖所示。根據上述，試回答下列問題。
已知照片中乙星軌跡的起點 $Q$ 坐標為 $(2,8)$。令 $R$ 為其軌跡終點，試求 $\overrightarrow{PR}$ 以及點 $R$ 的坐標。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
要解出乙星的軌跡終點，核心在於掌握「旋轉變換」。首先，你能利用甲星從 $(8,0)$ 逆時針旋轉 $90^\circ$ 至 $(0,0)$ 的幾何特性，找出旋轉中心（北極星 $P$）嗎？提示：$\triangle P(\text{起點})(\text{終點})$ 必為等腰直角三角形。求得 $P$ 點後，對於乙星起點 $Q(2,8)$，請思考向量 $\overrightarrow{PQ}$ 在逆時針旋轉 $90^\circ$ 後，其分量 $(x, y)$ 會如何變換成 $\overrightarrow{PR}$ 的分量？最後，再結合點 $P$ 與向量 $\overrightarrow{PR}$，是否就能順利推導出點 $R$ 的坐標了呢？
平面旋轉變換
💡 以旋轉中心為基準，透過向量旋轉公式求得新點位。
🔗 旋轉問題解題流程
- 1 找中心點 — 利用甲星資訊求出旋轉中心（圓心）座標 P。
- 2 定起始向量 — 求出從中心 P 指向乙星起點 Q 的向量 PQ。
- 3 換轉向向量 — 將向量 PQ 依 90 度旋轉公式轉換成 PR。
- 4 求終點座標 — 將中心 P 加上向量 PR 得到最終點 R 的位置。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若旋轉角度非 90 度，則需使用旋轉矩陣進行運算。
