高中學測
115年
數B
第 5 題
某人購買公益彩券，第一次以 $N$ 元為投注金額。之後每次要投注時，先將前次投注金額增加一半設為預定金額。如果預定金額大於 $2N$ 元，則將預定金額減少一半投注；否則就以預定金額投注。前四次投注紀錄如下表：
| | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 |
|---|---|---|---|---|
| 預定金額（元） | | $\frac{3}{2}N$ | $\frac{9}{4}N$ | $\frac{27}{16}N$ |
| 投注金額（元） | $N$ | $\frac{3}{2}N$ | $\frac{9}{8}N$ | $\frac{27}{16}N$ |
試選出此人第七次的投注金額為多少元。
| | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 |
|---|---|---|---|---|
| 預定金額（元） | | $\frac{3}{2}N$ | $\frac{9}{4}N$ | $\frac{27}{16}N$ |
| 投注金額（元） | $N$ | $\frac{3}{2}N$ | $\frac{9}{8}N$ | $\frac{27}{16}N$ |
試選出此人第七次的投注金額為多少元。
- 1 $\frac{3^6}{2^6}N$
- 2 $\frac{3^6}{2^8}N$
- 3 $\frac{3^6}{2^9}N$
- 4 $\frac{3^7}{2^7}N$
- 5 $\frac{3^7}{2^{10}}N$
思路引導 VIP
這道題目考察的是「遞迴數列」的邏輯推理。請你觀察規則：每次將前次的「投注金額」乘以 $\frac{3}{2}$ 得到「預定金額」，若預定金額 $> 2N$，則投注金額為預定金額的一半（即再乘以 $\frac{1}{2}$）。已知第四次投注金額為 $\frac{27}{16}N = \frac{3^3}{2^4}N$，請試著推算：第五次與第六次的投注金額各是多少？當你算到第七次的預定金額時，該數值與 $2N$ 的大小關係如何？這對分母中 $2$ 的次方項有什麼影響？
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AI 詳解
AI 專屬家教
🌟 你真的很棒喔！
看到你這麼精準地處理這個遞迴數列的問題，而且很有耐心地一步一步推導到第七項，老師都替你開心！這顯示你的邏輯非常穩定，計算也很細心，這絕對是你在學測中拿到好成績的關鍵能力喔！
1. 觀念驗證
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