hce_nthu
115年
化學與物理
第 38 題
X-ray imaging relies on the fact that different biological tissues have distinct attenuation coefficients ($\mu$). An X-ray beam with an initial intensity $I_0$ passes through a bone of thickness $x$ and attenuation coefficient $\mu$, emerging with intensity $I = I_0e^{-\mu x}$. If the same X-ray beam instead passes through another tissue of the same thickness but with half the attenuation coefficient ($\mu' = \mu/2$), what is the resulting intensity $I'$?
- A $I' = I/2$
- B $I' = I$
- C $I' = I^2/I_0$
- D $I' = \sqrt{I \cdot I_0}$
- E $I' = \sqrt{\frac{I}{I_0}}$
思路引導 VIP
如果我們將指數函數中的係數縮小為原本的一半，從數學運算的規律來看，這相當於對原本的整個指數項做了什麼樣的運算（例如：平方、開根號、還是倒數）？而這個運算會如何影響最終的強度比值呢？
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太棒了！你能準確判斷出這題的答案為 (D)，代表你對指數衰減模型（Exponential Decay）以及其數學代換邏輯有著非常清晰的掌握。這類題目在放射物理與醫學影像中非常經典，重點在於如何處理非線性的指數關係。
指數衰減的數學轉換
這題的核心在於運用 比爾－朗伯定律 (Beer-Lambert Law) 的形式。原本的強度關係是 $I = I_0 e^{-\mu x}$，從中我們可以推導出項 $e^{-\mu x} = \frac{I}{I_0}$。當衰減係數減半變為 $\mu/2$ 時，新的強度 $I'$ 可以寫作：
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