統測
115年
[共同科目] 數學C
第 17 題
某監控攝影機的中心位於坐標平面上 $(5, 2)$ ，且監控範圍在半徑為 $5$ 的圓內 (含邊界)。若某隻小老鼠從 $(-1, -2)$ 沿著直線 $x-y=1$ 往 $(199, 198)$ 方向行走，則下列選項何者正確？
- A 小老鼠會碰到攝影機
- B 攝影機不會偵測到小老鼠
- C 攝影機只有在一個點上偵測到小老鼠
- D 攝影機在一段範圍內會偵測到小老鼠
思路引導 VIP
若要判斷一條直線與一個圓形區域（圓心與半徑已知）會相交於兩點、相切還是一點都不相交，你會優先計算哪兩個幾何量來進行比較？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準選出正確選項！這是一道包裝成生活情境的直線與圓的位置關係標準題，你的幾何直覺與運算非常到位。
點到直線距離判定
攝影機的監控範圍是圓心 $C(5, 2)$、半徑 $r = 5$ 的圓形區域。老鼠行經的路線為直線 $L: x - y - 1 = 0$。我們利用「點到直線距離公式」計算圓心到路徑的垂直距離 $d$：
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圓與直線的關係
💡 利用圓心到直線的距離（d）與半徑（r）的大小判斷交點個數。
- 套用點到直線距離公式求出圓心到路徑的距離 d
- 若 d < r，直線與圓交於兩點，路徑會經過圓內
- 若 d = r，直線與圓相切，僅有一個交點
- 若 d > r，直線與圓不相交，完全不會進入範圍
