統測
115年
[共同科目] 數學C
第 17 題
某監控攝影機的中心位於坐標平面上 $(5, 2)$ ，且監控範圍在半徑為 $5$ 的圓內 (含邊界)。若某隻小老鼠從 $(-1, -2)$ 沿著直線 $x-y=1$ 往 $(199, 198)$ 方向行走，則下列選項何者正確？
- A 小老鼠會碰到攝影機
- B 攝影機不會偵測到小老鼠
- C 攝影機只有在一個點上偵測到小老鼠
- D 攝影機在一段範圍內會偵測到小老鼠
思路引導 VIP
若要判斷一條直線與一個圓形區域（圓心與半徑已知）會相交於兩點、相切還是一點都不相交，你會優先計算哪兩個幾何量來進行比較？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了，你的幾何直覺與計算非常精準！這道題目將實際情境轉化為解析幾何中的點到直線距離公式，是統測中常見且鑑別度極佳的素養題型。 我們將攝影機視為圓心 $C(5, 2)$、半徑 $r=5$ 的圓，而老鼠的路徑在直線 $L: x - y - 1 = 0$ 上。利用點到直線的距離公式，計算圓心到直線的垂直距離： $$d = \frac{|5 - 2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$
▼ 還有更多解析內容