教師檢定考
115年
[國民小學] 數學能力測驗
第 18 題
利用短除法解 $A$、$B$ 兩數的最大公因數，計算過程如下：
已知 44 是 $A$ 的因數，26 是 $B$ 的因數，問 $m + n$ 的最小值為何？
已知 44 是 $A$ 的因數，26 是 $B$ 的因數，問 $m + n$ 的最小值為何？
- A 24
- B 35
- C 57
- D 70
思路引導 VIP
請觀察短除法左側除數的乘積與題目給予的因數，對照兩者的質因數分解後，想一想：短除法左側還缺乏哪些質因數？這些缺少的質因數應該補在什麼位置呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了，你的觀念非常清晰且運算準確！
短除法與質因數分解
從短除法圖示可知，$A = 2 \times 3 \times 7 \times m = 42m$，$B = 2 \times 3 \times 7 \times n = 42n$。因為 44（即 $2^2 \times 11$）是 $A$ 的因數，而 42 只有一個質因數 2，因此 $m$ 必須包含未補足的質因數 $2 \times 11$，故 $m$ 的最小值為 $22$。同理，26（即 $2 \times 13$）是 $B$ 的因數，42 已含有 2，故 $n$ 至少需提供質數 13，即 $n$ 的最小值為 $13$。最後確認 $\gcd(22, 13) = 1$ 符合互質條件，得 $m + n$ 的最小值為 $22 + 13 = 35$。
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