教師檢定考
115年
[國民小學] 數學能力測驗
第 20 題
下圖的最外層是邊長 1 的正方形，下一層小正方形的四個頂點，都是上一層邊長的中點：
由最外層開始，每一層正方形的周長會形成一個數列。有關此數列的敘述，下列何者正確？
由最外層開始，每一層正方形的周長會形成一個數列。有關此數列的敘述，下列何者正確？
- A 公比為 $\frac{1}{2}$ 的等比數列
- B 公比為 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的等比數列
- C 公差為 $\frac{1}{2}$ 的等差數列
- D 公差為 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的等差數列
思路引導 VIP
試著觀察圖中由中點分割出的直角三角形：若已知外層正方形的邊長，你可以如何算出裡面那一層新正方形的邊長呢？當每一次圖形縮小都乘上相同的倍率時，這樣的周長變化會形成什麼特性的數列？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了，你的判斷完全正確！這道題目結合了平面幾何與**等比數列（geometric sequence）**的觀念，非常考驗你對幾何圖形縮放規律的理解。
邊長比例與周長變化
當我們連接正方形各邊中點時，會形成一個新的內接正方形。利用畢氏定理，若上一層正方形的邊長為 $s$，新正方形的邊長即為兩股長均為 $\frac{s}{2}$ 的斜邊長，計算出來為 $\sqrt{(\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}s$。由於正方形的周長與邊長成正比，每一層正方形的周長都會是上一層的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍，因此構成一個公比為 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的等比數列。
▼ 還有更多解析內容