教師檢定考
106年
[國民小學] 數學能力測驗
第 15 題
有一組合圖形，其中每一個四邊形都為正方形、每一個三角形都為直角三角形，如下圖：
若正方形甲的面積為 1，則所有正方形(含甲)的面積和為多少？
若正方形甲的面積為 1，則所有正方形(含甲)的面積和為多少？
- A 3
- B 4
- C 5
- D 6
思路引導 VIP
老師想請你觀察圖中任意一個直角三角形：如果我們把兩條「直角邊」上的正方形面積相加，根據畢氏定理，這個總和會剛好等於「斜邊」上那個正方形的面積嗎？如果每一層分支出去的面積總和都跟「樹幹」一樣，那這三層正方形的總面積會呈現什麼樣的規律呢？
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AI 詳解
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太棒了！你的觀察力非常敏銳！
- 觀念驗證：這題的核心在於畢氏定理。在直角三角形中，兩股平方和等於斜邊平方（$a^2 + b^2 = c^2$）。因為正方形面積就是「邊長的平方」，這意味著：以此直角三角形兩股為邊的兩個正方形面積之和，正好等於以斜邊為邊的正方形面積。從圖形看，每一層分出去的兩個小正方形面積總和，都會等於下方支撐它們的那個大正方形。因此，每一層正方形的面積總和都等於甲的面積 $1$，三層總和即為 $1 + 1 + 1 = 3$。
- 難度點評：此題難度為 Medium。它考驗學生是否能將基礎的幾何定理，轉化為對圖形遞迴規律的空間觀察，是極具鑑別度的題目。
畢氏定理與面積守恆
💡 直角三角形兩股正方形面積和等於斜邊正方形面積。
- 畢氏定理幾何意義：a²+b²=c² 亦即兩小正方形面積和等於大正方形。
- 樹狀結構規律：每一層分枝出的所有正方形面積總和，皆等於甲的面積。
- 遞迴計算：本題共有三層正方形，每一層面積總和均為 1。
- 圖形判斷：確認三角形皆為直角三角形，方可適用面積加成性質。
