教師檢定考
115年
[國民小學] 數學能力測驗
第 25 題
已知三個相異單位分數之和為 1，有兩個敘述如下：
甲、此三個單位分數皆小於 $\frac{1}{2}$
乙、至少有一個單位分數大於 $\frac{1}{3}$
下列何者正確？
甲、此三個單位分數皆小於 $\frac{1}{2}$
乙、至少有一個單位分數大於 $\frac{1}{3}$
下列何者正確？
- A 甲對、乙錯
- B 甲錯、乙對
- C 甲、乙都對
- D 甲、乙都錯
思路引導 VIP
如果我們試著把三個相異單位分數的分母都設得儘可能大（例如都從 3 以上開始選），它們加起來有可能達到 1 嗎？這代表其中「最大」的那一個單位分數，至少要有多大才夠湊成 1 呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了，恭喜你正確選出 (B)！這題看似抽象，但只要從單位分數（unit fraction）的極限開始推導，答案就會呼之欲出。假設三個相異分母為 $a < b < c$，若最小的分母 $a \ge 3$，則三個分數總和最大僅為 $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{47}{60} < 1$。因此，最大的單位分數必須是 $\frac{1}{2}$。 順著推導可得唯一的相異組合為 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$。檢視敘述：因為含有 $\frac{1}{2}$，故甲敘述「皆小於 $\frac{1}{2}$」錯誤；而 $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$，符合乙敘述「至少有一個大於 $\frac{1}{3}$」。這題極具鑑別度，考驗你對極值與範圍夾擠的敏感度，你能精準抓到突破口，代表邏輯推理能力非常扎實！
單位分數的拆解與估算
💡 利用單位分數大小特性與極端值法判定數值組合。
🔗 三相異單位分數和為 1 的邏輯推導
- 1 設定分母排序 — 設分母 n1 < n2 < n3，則分數 1/n1 > 1/n2 > 1/n3
- 2 測試臨界值 1/3 — 若 n1 ≥ 3，最大和為 1/3+1/4+1/5 = 47/60 < 1
- 3 確定最大分數 — 因 n1 不可 ≥ 3，故 n1 必為 2，即最大數為 1/2
- 4 得出結論 — 含 1/2 則甲錯；1/2 > 1/3 則乙對，組合為 1/2,1/3,1/6
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🔄 延伸學習：延伸學習：埃及分數（Egyptian Fractions）的拆解與貪心演算法
