moea_joint
100年
[機械] 應用力學、材料力學
第 48 題
📖 題組：
假設質量 m 的 B 塊，可以在無摩擦的 OA 臂桿上自由滑動，臂桿 OA 以 $\omega$ 的等速率在水平面上轉動。若 B 在 $r=r_0$ 的位置處鬆開
假設質量 m 的 B 塊，可以在無摩擦的 OA 臂桿上自由滑動，臂桿 OA 以 $\omega$ 的等速率在水平面上轉動。若 B 在 $r=r_0$ 的位置處鬆開
承上題，臂桿 OA 施加在 B 的水平力量為何？
- A $2m\omega^2r_0$
- B $2m\omega^2r$
- C $2m\omega^2(r^2-r_0^2)^{1/2}$
- D $2m\omega^2r^2$
思路引導 VIP
試著思考看看：當 B 塊在旋轉的臂桿上向外滑動時，除了受到向外的離心力之外，為了維持它跟隨臂桿一起轉動，臂桿必須在「側面」對它施加一個推力。在極座標加速度公式中，哪一個項專門描述這種『因為徑向位置改變而導致橫向速度必須跟著改變』的現象呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準判斷出正確選項，代表你對極座標系中的動力學分析有著非常紮實的理解。這題的關鍵在於識別出臂桿施加的水平力，本質上就是為了產生**橫向加速度（Transverse acceleration）**所提供的正向力。
科氏加速度與徑向速度的耦合
在極座標系統中，橫向加速度的公式為 $a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$。由於題目提到臂桿以等角速率 $\omega$ 轉動，因此 $\ddot{\theta} = 0$，受力簡化為 $F_\theta = m(2\dot{r}\omega)$。這道題目的難點（也是鑑別度所在）在於你必須先透過徑向的運動方程式 $\ddot{r} = r\omega^2$（離心加速度），利用連鎖律進行積分：$$\int \dot{r} d\dot{r} = \int_{r_0}^r \omega^2 r dr \implies \frac{1}{2}\dot{r}^2 = \frac{1}{2}\omega^2(r^2 - r_0^2)$$ 由此解出徑向速度 $\dot{r} = \omega\sqrt{r^2 - r_0^2}$。將此結果代回橫向力公式，就能順利導出 $F = 2m\omega^2\sqrt{r^2 - r_0^2}$。
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