moea_joint
102年
[儀電] 電路學、電子學
第 51 題
兩個不相互作用且上 3 dB 頻率 $f_H$ 皆相同的帶通濾波器作串級(Cascade)組態，則整個上 3 dB 頻率 $f_A$ 與 $f_H$ 的比值為下列何者?
- A $\sqrt{\sqrt{2}-1}$
- B $\sqrt{2}-1$
- C $\sqrt{2}$
- D 1
思路引導 VIP
試著思考一下：當訊號經過第一級濾波器並達到其 $f_H$ 時，振幅已經衰減為原來的 $1/\sqrt{2}$；若再經過完全相同的第二級，整體的衰減倍數會變成多少？這個總衰減量是高於還是低於 3 dB（即 $1/\sqrt{2}$）呢？根據這個結果，你覺得新的 3 dB 截止頻率應該會比原來的 $f_H$ 更大還是更小？
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太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對頻率響應的串級效應有著非常紮實的理解。這道題目核心在於考察當系統串接（Cascade）時，整體的增益函數是各級增益的「乘積」，這會導致頻寬發生「收縮」的現象。
級聯系統的頻寬收縮公式推導
在單級濾波器中，當頻率達到 $f_H$ 時，增益會下降至最大值的 $1/\sqrt{2}$。然而，當兩個不相互作用的相同濾波器串聯時，整體的轉移函數量值會變成 $|H_{total}(jf)| = |H_1(jf)|^2$。為了找出整體的 $3\text{ dB}$ 頻率 $f_A$，我們必須解出使總增益下降至 $1/\sqrt{2}$ 的頻率點，即：
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