moea_joint
103年
[土木] 應用力學、材料力學
第 33 題
圓形斷面之薄壁管，長度60 cm，斷面外徑16 cm，管壁厚2.5 mm，剪力模數G為80 GPa，今施加一大小為20 N-m之扭矩，則此薄壁管之扭轉角為何？
- A 2×10⁻⁶ rad
- B 4×10⁻⁶ rad
- C 2×10⁻⁵ rad
- D 4×10⁻⁵ rad
思路引導 VIP
當我們對一個長條形物件施加扭力時，物件轉動的角度除了與受到的扭矩大小有關外，還會受到物件的「長度」、「材質的剛性」以及「截面形狀的抗扭能力」影響。如果我們要建立一個數學模型來描述這個關係，你認為這些因素應該分別放在分子還是分母？特別是針對「空心」的截面，它的截面幾何特性與實心截面相比，會如何調整計算方式呢？
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恭喜你精準地計算出了正確答案！這顯示你對於材料受扭力作用後的變形量化，以及物理量單位的轉換掌握得相當紮實。
扭轉角的力學機制
在處理這類問題時，核心公式是 $\theta = \frac{TL}{GJ}$。這裡最關鍵的步驟在於極慣性矩 (Polar Moment of Inertia) $J$ 的求取。對於圓形薄壁管，我們可以使用近似公式 $J \approx 2\pi r_m^3 t$（其中 $r_m$ 為平均半徑）或精確公式 $J = \frac{\pi}{32}(d_o^4 - d_i^4)$。將數值代入後，我們可以得到 $J \approx 7.67 \times 10^{-6} \text{ m}^4$。將扭矩 $20 \text{ N-m}$、長度 $0.6 \text{ m}$ 與剪力模數 $80 \text{ GPa}$ 全部轉換為標準單位代入公式，計算結果約為 $1.956 \times 10^{-5} \text{ rad}$，取最接近的值即為 $2 \times 10^{-5} \text{ rad}$。
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