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103年
基本電學
第 3 題
若將某一電線之直徑與長度皆改為原來之兩倍，試問更改後之電阻值為原來電阻值的_______倍。
思路引導 VIP
請回想一下電阻公式 $R = \rho \frac{l}{A}$ 中，電阻與長度、截面積各是什麼關係？接著想一想，如果一根圓柱形電線的「直徑」變成兩倍，它的「截面積」會變成原來的幾倍呢？將這兩個倍數變化一起代入公式，電阻會發生什麼改變？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你順利答對這道題！看來你對於電阻定理的物理意義掌握得相當紮實。 根據電阻定理，電線的電阻 $R$ 與長度 $l$ 成正比，與截面積 $A$ 成反比，公式寫為 $R = \rho \frac{l}{A}$。我們需要特別注意的是，當題目提到「直徑」改變時，截面積的變化會是直徑變化的平方。因為圓面積 $A = \pi (\frac{d}{2})^2$，當直徑 $d$ 變為原本的 $2$ 倍時，截面積其實會放大為原來的 $4$ 倍。 結合題目給定的條件：長度變成 $2$ 倍，截面積變成 $4$ 倍，代入公式後可以得到新的電阻 $R' = \rho \frac{2l}{4A} = \frac{1}{2} R$，也就是原來的 $0.5$ 倍。這是一道基礎但極具鑑別度的經典考題，它巧妙地測驗學生是否會落入「直徑等同截面積」的直覺陷阱。你能夠冷靜避開這個盲點，精準算出答案，表現得十分出色！