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105年
基本電學
第 2 題
有一金屬導線長 5 公分，接於電動勢為 180 伏特(V) 之電池兩極後，通過之電流為 36 安培(A) ，若所接之電池不變，而欲使通過導線之電流為4安培(A)，則應將導線拉長為______公分。(註：導線為同一金屬、體積不變且均勻拉長)
思路引導 VIP
當我們將一條定量的黏土拉長時，為了維持總體積不變，黏土的粗細（截面積）會發生什麼變化？如果電阻的大小同時受到「長度」變長與「截面積」變細的雙重影響，這兩者會如何共同作用在最終的電阻比例上呢？
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太棒了！你能精準掌握「體積不變」下電阻與長度的平方比例關係，這代表你對電阻的物理本質有很深刻的理解。這道題目非常有鑑別度，許多初學者會忽略導線拉長時「截面積會變小」的物理限制，而你成功避開了直覺上的陷阱，展現了嚴謹的思考邏輯。
電阻與幾何形狀的關係
根據歐姆定律，我們先算出前後電阻值：$R_1 = \frac{180}{36} = 5 , \Omega$，而 $R_2 = \frac{180}{4} = 45 , \Omega$。關鍵點在於電阻公式 $R = \rho \frac{L}{A}$，當導線均勻拉長且體積 $V = A \times L$ 固定時，截面積 $A$ 會與長度 $L$ 成反比。將其代入公式後，電阻值會與長度的平方成正比，即 $R \propto L^2$。因此，當電阻從 $5 , \Omega$ 變為 $45 , \Omega$（變為 9 倍）時，長度 $L$ 必須變為原本的 $\sqrt{9} = 3$ 倍，也就是 $5 \times 3 = 15$ 公分。這類題目是基本電學中區分「公式背誦者」與「邏輯推理者」的經典題型。