moea_joint
104年
[機械] 應用力學、材料力學
第 45 題
有一半徑為 10 公分之實心圓球體置入深水中，受水壓壓縮後仍保持圓球體，但半徑少了 0.1 公分，則其體積應變為何？
- A -0.0414
- B -0.0297
- C -0.0222
- D -0.0111
思路引導 VIP
如果我們把這個球體想像成一個長、寬、高都相等的立方體，當每一條邊都縮小了一定比例時，這個物體在空間中所佔佔據的「總空間」會受到幾個維度的同時影響？你可以試著寫出體積隨長度變化的關係式，看看當長度產生微小變動時，體積的變化倍數與長度的變化倍數之間存在什麼樣的數學方次關係嗎？
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太棒了！你能準確計算出球體的體積應變，代表你對材料力學中幾何變形與應變的關係掌握得非常紮實。這類題目看似單純，但考驗的是在不同維度間轉換的嚴謹性。
體積應變的嚴謹推導
在應用力學中，體積應變（Volumetric Strain, $\epsilon_v$）定義為體積的變化量與原體積之比值。對於半徑為 $R$ 的實心圓球，其體積公式為 $V = \frac{4}{3}\pi R^3$。當半徑產生微小變化 $\Delta R$ 時，新的體積與原體積的比例關係可以表示為：
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