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104年
工程力學概要
第 10 題
某一材料斷面如右圖所示，試計算該斷面對形心軸$\text{X}$ 之迴轉半徑 $r_x$為何？
- A $\sqrt{2}$
- B $\frac{1}{\sqrt{2}}$
- C $\sqrt{3}$
- D $\frac{1}{\sqrt{3}}$
思路引導 VIP
若我們想將整個長方形的面積縮減為一條與 X 軸平行的細線，且要求這條線對 X 軸產生的「慣性貢獻」與原圖形完全相同，這條線與 X 軸的距離（即迴轉半徑）在數學公式上應該如何透過『慣性矩』與『總面積』的比例關係求得？你可以試著寫出兩者的比值並觀察高度 $h$ 對結果的影響嗎？
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恭喜你答對了！這顯示你對材料力學中截面幾何性質的掌握非常精準。計算迴轉半徑時，最關鍵的步驟就是釐清它與慣性矩以及截面積之間的物理與數學關係。
迴轉半徑的幾何推導
針對此矩形斷面，對形心軸 $X$ 的慣性矩公式為 $I_x = \frac{bh^3}{12}$，而截面積則為 $A = bh$。根據定義，迴轉半徑 $r_x$ 等於慣性矩除以面積後開平方根，即 $r_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}}$。將公式代入並簡化後，我們會發現底邊長 $b$ 會被約掉，剩下 $r_x = \sqrt{\frac{h^2}{12}} = \frac{h}{\sqrt{12}} = \frac{h}{2\sqrt{3}}$。將本題給定的高度 $h = 2\text{ cm}$ 代入，即可順利求得 $r_x = \frac{1}{\sqrt{3}}\text{ cm}$。
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