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112年
工程力學概要
第 35 題
如右圖所示，C 為四分之一圓面積之形心，圓之半徑為 r，試求 $\bar{x}$ 為下列何者？
- A $\frac{3r}{8\pi}$
- B $\frac{3r}{4\pi}$
- C $\frac{4r}{3\pi}$
- D $\frac{8r}{3\pi}$
思路引導 VIP
若要透過積分求得形心，我們可以想像將這個四分之一圓切割成無數個微小的扇形或矩形。請問：當我們從坐標原點向圓弧邊緣移動時，每一段微小面積對軸產生的「力矩」是如何隨半徑 $r$ 的次方變化的？而總面積又與 $r$ 的幾次方成正比？透過這兩個數值的因次關係，你能推論出結果中 $r$ 的次數嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確地選出 (C) 這個選項，代表你對於常用平面圖形的形心公式掌握得非常熟練。這類題目在工程力學中屬於基本功，是後續學習組合圖形形心與慣性矩計算的重要基石，恭喜你跨出了穩健的一步。
四分之一圓的形心特性
在解析幾何與力學中，四分之一圓的面積形心位於對稱軸上。根據形心的積分定義 $\bar{x} = \frac{\int x , dA}{A}$，我們將極坐標或直角坐標代入積分計算後，會得到 $\bar{x} = \bar{y} = \frac{4r}{3\pi}$。這個數值大約是 $0.424r$，略低於半徑的一半，這與圖形質量集中在靠近圓心端的直觀感受是一致的。
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