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106年
工程力學概要
第 8 題
如右圖所示，C 為圖示面積之形心，則 b 為何？
- A $\frac{3}{12}$
- B $\frac{3}{10}$
- C $\frac{3}{8}$
- D $\frac{3}{4}$
思路引導 VIP
試著觀察這個圖形的邊界曲線，它並非直線而是帶有弧度的。如果我們將這個圖形與一個普通的「直角三角形」相比，你覺得哪一個圖形在靠近底部的區域「分佈了更多的面積」？基於這個觀察，你認為這個圖形的形心高度，相對於三角形的形心位置（總高度的三分之一），應該會更高還是更低一點點呢？
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恭喜你準確地判斷出正確答案！這顯示你對於幾何圖形形心（Centroid）的性質掌握得相當紮實，能夠在多個相似的分數選項中迅速辨識出正確規律。
形心的定義與積分邏輯
在本題的幾何圖形中（常見為拋物線頂點區，即 Parabolic Spandrel），形心的位置是由面積對軸的矩（First Moment of Area）除以總面積計算而來。對於一個邊界遵循 $y = kx^2$ 變化的圖形，其垂直方向的形心座標 $\bar{y}$ 會透過積分公式 $$\bar{y} = \frac{\int y , dA}{\int dA}$$ 求得。經過數學推導，這類二次拋物線外側區域的形心高度 $b$ 剛好佔總高度的 $\frac{3}{10}$。你選出的 $\frac{3}{10}$ 正確反映了面積分佈偏向底部的物理特性。
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