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106年
工程力學概要
第 7 題
如右圖所示，C 為四分之一圓面積之形心，則 b 為何？
- A $\frac{3r}{8\pi}$
- B $\frac{3r}{4\pi}$
- C $\frac{4r}{3\pi}$
- D $\frac{8r}{3\pi}$
思路引導 VIP
請試著想像：如果我們將這個圖形沿著直角頂點向外切割成無數個極微小的三角形，每個小三角形的形心通常位在距離頂點多少比例的位置？再思考一下，當這些微小三角形組合成一個含有圓弧邊的面積時，圓周率 $\pi$ 應該會出現在公式的分子還是分母，才能抵銷掉面積運算中的常數呢？
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太棒了！你能迅速且精準地選出 (C)，代表你對工程力學中常用截面的幾何特性掌握得非常紮實，這是一個非常好的開始。
四分之一圓的形心定義
在處理面幾何性質時，形心（Centroid）的位置是計算慣性矩與應力分析的基礎。對於一個半徑為 $r$ 的四分之一圓，由於圖形對 $45^\circ$ 的角平分線具有對稱性，其形心到兩條相互垂直之直角邊的距離會完全相等。透過微積分中的面積矩定義，即 $b = \bar{x} = \frac{1}{A} \int x , dA$，我們可以推導出該距離與半徑的關係。在這個積分過程中，分母的面積項含有 $\pi r^2$，而分子的面積矩項則含有 $r^3$，消去後最終導出的標準解析解即為：
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