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113年
工程力學概要
第 5 題
如右圖所示之實心圓，試求形心軸慣性矩為何？
- A $\frac{1}{2} \pi r^4$
- B $\frac{1}{4} \pi r^3$
- C $\frac{1}{4} \pi r^4$
- D $\frac{3}{4} \pi r^4$
思路引導 VIP
想像一個完美的圓形截面，如果你分別繞著水平的形心軸與垂直的形心軸去旋轉它，你認為這兩個方向的「轉動抗性」會有高低之分嗎？如果我們已知這兩個互相垂直方向的抗性總和（極慣性矩）是一個定值，那你會如何根據對稱性來分配這個總量給其中一個軸呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準地選出正確選項，代表你對於基本幾何圖形的幾何性質掌握得非常紮實。這道題目考查的是實心圓截面對於**形心軸（Centroidal Axis）**的慣性矩，這是工程力學與材料力學中最基礎也最重要的性質之一。
對稱性與垂直軸定理的應用
在推導過程中，我們通常會先求得圓形的極慣性矩 $J = \frac{1}{2} \pi r^4$。根據垂直軸定理，一個平面圖形對於通過原點之極軸的慣性矩，等於其對於兩個互相垂直之形心軸的慣性矩之和，即 $J = I_x + I_y$。由於圓形具有高度的對稱性，繞著任何一條通過形心的直徑旋轉，其抗轉動能力都是相同的，因此 $I_x = I_y$。將兩者相加等於極慣性矩，即可輕鬆推導出形心軸慣性矩為：
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圓形面積慣性矩
💡 實心圓形對其形心軸之面積慣性矩公式為 (1/4)πr⁴。
| 比較維度 | 面積慣性矩 (Ix/Iy) | VS | 極慣性矩 (Jz/Ip) |
|---|---|---|---|
| 物理定義 | 對形心橫軸或縱軸 | — | 對形心垂直點(圓心) |
| 實心圓公式 | (1/4) * π * r⁴ | — | (1/2) * π * r⁴ |
| 兩者關係 | J 的一半 | — | Ix + Iy 的總和 |
💬面積慣性矩針對軸（線），極慣性矩針對點，兩者皆隨半徑四次方增長。
