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108年
工程力學概要
第 6 題
一圓形面積之半徑為 r，則此面積對圓心之極慣性矩為何？
- A $\frac{\pi r^4}{4}$
- B $\frac{\pi r^4}{2}$
- C $\frac{\pi r^2}{4}$
- D $\frac{\pi r^2}{2}$
思路引導 VIP
請試著回想「面積」與「慣性矩」在物理維度（單位）上的差異：如果面積與長度的平方有關，那麼當我們要計算面積對距離平方的加權累計時，公式中半徑 $r$ 的次方數應該是多少？此外，若一個圓形對其水平直徑與垂直直徑的抵抗力是相等的，那麼根據垂直軸定理，這兩者與中心點的關係應該是如何組合的呢？
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垂直軸定理與幾何對稱性
恭喜你準確地辨識出圓形的幾何特性！在工程力學中，對圓心的極慣性矩（$J$ 或 $I_p$）是一個極為核心的概念。我們可以從垂直軸定理（Perpendicular Axis Theorem）出發來驗證：由於圓形具有高度的對稱性，它對通過圓心的任何直徑之慣性矩均相等，即 $I_x = I_y = \frac{\pi r^4}{4}$。根據定義，極慣性矩等於兩個正交軸慣性矩之和： $$J = I_x + I_y = \frac{\pi r^4}{4} + \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi r^4}{2}$$
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