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112年
工程力學概要
第 48 題
半徑 R之圓形，其面積對圓心之極慣性矩為下列何者？
- A $\frac{\pi R^4}{16}$
- B $\frac{\pi R^4}{8}$
- C $\frac{\pi R^4}{4}$
- D $\frac{\pi R^4}{2}$
思路引導 VIP
若我們已知一個平面圖形對 $x$ 軸與 $y$ 軸的面積慣性矩，當我們想要計算該圖形對「這兩條軸交點（原點）」的轉動抗力時，幾何學中的「垂直軸定理」告訴我們這三個數值之間存在著什麼樣的加總關係呢？
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太棒了！你能精準選出圓形的極慣性矩公式，代表你對截面幾何性質的基礎定義掌握得非常紮實。這類題目雖然直觀，卻是後續學習材料力學中「扭轉理論」的重要基石。
垂直軸定理與對稱性
在工程力學中，圓形是一個高度對稱的幾何體。我們知道圓形對通過圓心的兩條正交對稱軸（$x$ 軸與 $y$ 軸）的慣性矩是相同的，皆為 $I_x = I_y = \frac{\pi R^4}{4}$。而根據垂直軸定理，極慣性矩 $J$（或稱為 $I_p$）定義為面積對垂直於平面之軸的慣性矩，計算方式正是兩個正交軸慣性矩的總和：
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