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111年
工程力學概要
第 9 題
在具有相同面積之條件下，下列何者對形心軸之慣性矩最大？(多邊形取平行最長邊者)
- A 圓形
- B 正方形
- C 正三角形
- D 寬:高 = 2:1之矩形
思路引導 VIP
想像你有相同數量的黏土要捏成不同的幾何形狀。如果你的目標是讓這塊黏土在繞著中心軸旋轉時產生最大的「抗性」，你會希望這些黏土是盡可能地緊縮在中心，還是盡可能地往外推開？在總面積固定的限制下，哪一種輪廓特徵會強迫它的一部分面積必須延伸到離中心最遠的地方呢？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對「慣性矩」的物理意義有著相當深刻的理解。慣性矩 $I$ 本質上描述的是面積分布對於軸線的「疏散程度」；在總面積相同的限制下，若某個幾何形狀能將更多的面積分布在遠離形心軸的地方，其慣性矩自然會越高。
幾何特性的分布效率
從量化的角度來看，若設定面積均為 $A$，圓形的 $I \approx 0.0796 A^2$，正方形為 $I \approx 0.0833 A^2$，而正三角形則約為 $I \approx 0.0962 A^2$。這是因為圓形是最「緊湊」的圖形，面積高度集中在形心周圍；相反地，正三角形在維持相同面積時，其頂角部分的面積會被推向離形心軸較遠的位置。至於選項中寬高比 2:1 的矩形，由於題目限制取「平行長邊」之形心軸，其高度較小，導致大量面積被迫靠近軸線，慣性矩反而會下降。
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