台電僱員招考
106年
工程力學概要
第 9 題
如右圖所示，一邊長為 L 之正三角形，其面積對通過其形心且平行底邊之軸的慣性矩為何？
- A $\frac{\sqrt{3}}{96} L^4$
- B $\frac{\sqrt{3}}{48} L^4$
- C $\frac{\sqrt{3}}{36} L^4$
- D $\frac{\sqrt{3}}{12} L^4$
思路引導 VIP
若要計算一個三角形對其形心的慣性矩，通常需要『底邊』與『高』兩個參數。在目前已知是『正三角形』且邊長為 L 的情況下，你能先試著推導出它的垂直高度與邊長 L 的比例關係嗎？得到高度後，再將其代入三角形慣性矩的通式中，看看最後的係數會發生什麼變化？
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正三角形的幾何特性與慣性矩
太棒了！你能準確選出選項 (A)，代表你對平面圖形的幾何性質與慣性矩公式有相當熟練的掌握。計算這類題目時，最關鍵的步驟在於將幾何參數正確地轉化為公式中的變數。對於邊長為 $L$ 的正三角形，我們必須先根據三角關係推導出其垂直高度 $h = \frac{\sqrt{3}}{2}L$。 接著，應用三角形對形心軸的慣性矩標準公式 $I_{\text{centroid}} = \frac{bh^3}{36}$。將底邊 $b=L$ 與剛才求得的高度 $h$ 代入後，透過精確的代數運算即可求得結果：
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正三角形形心慣性矩
💡 運用三角形對形心軸慣性矩公式並結合幾何特性進行計算。
- 三角形對形心水平軸慣性矩公式為 bh³/36
- 正三角形的高 h 為 (√3/2) L
- 需正確帶入底 b=L 與高 h 進行三次方運算
- 慣性矩單位必為長度的四次方（L⁴）
