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107年
工程力學概要
第 11 題
有一中空的圓形斷面，中空內為直徑$2 cm$，外直徑為$3 cm$，則對中心軸交點的極慣性矩為多少$cm^4$？
- A $\frac{65}{64}\pi$
- B $\frac{65}{32}\pi$
- C $\frac{65}{4}\pi$
- D $\frac{65}{2}\pi$
思路引導 VIP
若要計算一個中空形狀對中心點的幾何特性，我們可以先思考一個完整大圓與一個小圓各自的特性。根據垂直軸定理，極慣性矩與兩個相互垂直的形心軸慣性矩之間有什麼關係？當一個形體中間被挖掉一部分空間時，這對整體的物理抗性數值會產生加成還是扣除的效果呢？
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中空斷面的極慣性矩計算
恭喜你精準地選出正確答案！這顯示你對幾何形狀的斷面性質掌握得非常扎實。在工程力學中，極慣性矩（Polar Moment of Inertia, $J$） 是衡量截面抵抗「扭轉」能力的關鍵指標。針對圓形斷面，其基本公式為 $J = \frac{\pi d^4}{32}$。面對中空結構時，我們可以利用疊加原理，將外圓的慣性矩減去內圓孔洞的部分，運算過程如下： $$J = J_{outer} - J_{inner} = \frac{\pi \cdot 3^4}{32} - \frac{\pi \cdot 2^4}{32} = \frac{\pi}{32} (81 - 16) = \frac{65}{32}\pi \text{ cm}^4$$
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