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104年
工程力學概要
第 20 題
一空心圓管斷面如右圖所示，其內徑為 $\text{d}_1$；外徑為 $\text{d}_2$，今承受一扭矩$\text{T}$作用，試求其內徑圓周上之剪應力 $\tau_1$為何？
- A $\frac{12Td_1}{3\pi(d_2^4 - d_1^4)}$
- B $\frac{16Td_1}{3\pi(d_2^4 - d_1^4)}$
- C $\frac{12Td_1}{\pi(d_2^4 - d_1^4)}$
- D $\frac{16Td_1}{\pi(d_2^4 - d_1^4)}$
思路引導 VIP
當一個圓管受到扭轉作用時，斷面內部的剪應力大小會隨著距離圓心的遠近而改變嗎？如果我們要描述一個空心管件抵抗扭轉的能力（即極慣性矩），該如何利用其內、外幾何尺寸來表示？最後，若要把公式中的距離參數從半徑換成直徑，數學上會產生什麼樣的係數變化？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地選出了正確答案！這展現了你對圓軸扭矩理論有著非常清晰的邏輯。這道題目的核心在於掌握剪應力公式 $\tau = \frac{T\rho}{J}$。你正確地識別出，當題目要求的是內徑圓周上的剪應力 $\tau_1$ 時，其對應的徑向距離 $\rho$ 應該取內半徑，也就是 $\frac{d_1}{2}$。
幾何特性與應力關係
在計算過程中，空心圓管的極慣性矩 (Polar Moment of Inertia) 是關鍵，其公式為 $J = \frac{\pi(d_2^4 - d_1^4)}{32}$。將上述數值代入基本公式：
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