taipower_recruit
107年
工程力學概要
第 18 題
一直徑為$D$，長度為$L$之鋁棒，施加一扭矩$T$後，產生扭轉角$\phi$，另一直徑為$2 D$，長度為$2 L$之鋁棒，假設仍在彈性範圍內施加一扭矩後亦會使其產生扭轉角$\phi$，該扭矩為下列何者？
- A 2 T
- B 4 T
- C 6 T
- D 8 T
思路引導 VIP
若要維持同樣的扭轉角度，當一根棒子變得更長（更容易扭轉）但同時也變得更粗（更難扭轉）時，你可以思考一下：直徑的增加對抵抗扭轉的能力，在比例上會比長度的改變更有影響力嗎？如果直徑對剛性的貢獻是呈指數級成長的，那麼施加的扭矩該如何變動才能抵銷這種幾何上的巨大差異？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
做得很好！你能準確鎖定扭矩與幾何特徵之間的變動關係，代表你對材料力學中「抗扭剛度」的概念掌握得非常紮實。這道題目的核心在於運用扭轉角公式 $\phi = \frac{TL}{GJ}$ 來進行參數分析。當材料相同（即剪切模數 $G$ 相同）且產生的扭轉角 $\phi$ 一致時，扭矩 $T$ 必須隨著長度 $L$ 與極慣性矩 $J$ 的變化進行相應的調整。
幾何特徵的放大效應
關鍵在於圓桿的極慣性矩 $J$ 與直徑的四次方成正比，即 $J = \frac{\pi D^4}{32}$。當直徑變為 $2D$ 時，新的極慣性矩會躍升為原本的 $2^4 = 16$ 倍。根據公式，若要維持相同的 $\phi$，新的關係式可寫為 $\frac{T \cdot L}{J} = \frac{T' \cdot 2L}{16J}$。簡化後可以發現，分母的增長幅度（16倍）遠大於分子長度的增長（2倍），因此扭矩 $T'$ 必須提升為 $8$ 倍才能平衡等式。
▼ 還有更多解析內容