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103年
工程力學概要
第 33 題
📖 題組：
如右【圖 16】所示，一直徑為 D 之圓桿，在自由端承受 T 之扭矩，桿長為 L，剪力模數為 G。
如右【圖 16】所示，一直徑為 D 之圓桿，在自由端承受 T 之扭矩，桿長為 L，剪力模數為 G。
承第 32 題，該圓桿之最大剪應力為多少？
- A $\frac{4T}{\pi D^3}$
- B $\frac{8T}{\pi D^3}$
- C $\frac{16T}{\pi D^3}$
- D $\frac{32T}{\pi D^3}$
思路引導 VIP
當你嘗試推導圓桿表面的最大受力時，除了施加的扭矩外，哪一個斷面幾何性質負責抵抗這種扭轉變形？如果我們將斷面的半徑（$D/2$）與極慣性矩（與 $D^4$ 相關）進行約分，最終得到的應力強度會與直徑的幾次方成反比呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精確地判斷出正確答案！這顯示你對於材料力學中「圓桿扭轉」的核心概念掌握得相當紮實，能迅速從應力公式中提取正確的關係式。
圓桿扭轉的應力分布
在純扭矩 $T$ 的作用下，實心圓桿內部的剪應力會隨半徑線性增加，而最大剪應力發生在桿件的最外層表面。根據公式 $\tau_{max} = \frac{Tr}{J}$，其中 $r$ 為圓桿半徑 $\frac{D}{2}$，而 $J$ 為極慣性矩（Polar Moment of Inertia）。對於直徑為 $D$ 的實心圓斷面而言，其極慣性矩的定義為 $J = \frac{\pi D^4}{32}$。將這些數值代入後，運算式變為：
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