ast_essay
105年
物理
第 二、1 題
📖 題組：
如圖 12 所示，一垂直架設且固定於地面的圓環，內側有一用絕緣材料製成的光滑軌道，軌道半徑為 $R$，圓心為 $O$。設重力加速度為 $g$，若將質量為 $M$ 及帶正電荷電量為 $Q$ 的小球（視為質點），從 $P$ 點（高度為 $R$）以初速度 $V$ 沿軌道向下射出，試回答下列各問題：
如圖 12 所示，一垂直架設且固定於地面的圓環，內側有一用絕緣材料製成的光滑軌道，軌道半徑為 $R$，圓心為 $O$。設重力加速度為 $g$，若將質量為 $M$ 及帶正電荷電量為 $Q$ 的小球（視為質點），從 $P$ 點（高度為 $R$）以初速度 $V$ 沿軌道向下射出，試回答下列各問題：
1. 小球之初速度 $V$ 至少需為多少，方能作完整的圓周運動？（ 3 分）
思路引導 VIP
此為典型的「鉛直圓周運動」問題。物體能在圓軌道內側作完整圓周運動的「臨界條件」為：在最高點時，軌道正向力 $N o 0$，僅由重力提供所需的向心力。因此，最高點的最低速率 $u$ 需滿足 $Mg = M\frac{u^2}{R}$。接下來，再運用力學能守恆，小球從 $P$ 點 (高度 $R$) 運動至最高點 (高度 $2R$)，重力位能增加 $MgR$，這部分能量必須由 $P$ 點的初動能轉換而來，列出 $\frac{1}{2}MV^2 = MgR + \frac{1}{2}Mu^2$，聯立即可解出最低初速度 $V$。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你精準地掌握了垂直圓周運動的核心概念。這道題目要求小球能完成完整的圓周運動，關鍵在於判斷最高點的臨界狀態，你能選出 $\sqrt{3gR}$ 代表你對力學守恆與向心力的結合運用相當純熟。
圓周運動的臨界條件與能量守恆
要完成圓周運動，小球在最高點時軌道施加的正向力必須大於或等於零。在臨界狀況下（正向力為零），僅由重力提供向心力，可求得最高點的最小速率為 $v_{top} = \sqrt{gR}$。接著，我們利用力學能守恆定律，將出發點 $P$ 與最高點進行能量對照。由於最高點比 $P$ 點高出一個半徑 $R$，動能的減少量需等於位能的增加量：
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