分科測驗
107年
物理
第 17 題
雲霄飛車是一種常見於主題樂園中的遊樂設施，其軌道通常有如圖 6 所示的迴圈。若考慮正圓的迴圈軌道，且軌道可視為在一鉛直面上，雲霄飛車的車廂在沒有動力驅動之下，沿著軌道內側繞行，且軌道只能提供向心力，摩擦阻力可忽略，重力加速度為 $g$，則當車廂可沿整個圓圈軌道繞行時，車廂在軌道最低點的加速度量值至少為何？
- A $2g$
- B $3g$
- C $4g$
- D $5g$
- E $6g$
思路引導 VIP
欲使車廂成功繞行鉛直圓周而不脫離軌道，最高點的臨界物理條件為何？請試著結合牛頓第二運動定律求出最高點的最小速率 $v_{top}$。隨後，在忽略阻力的情況下，如何利用力學能守恆定律推導出最低點的速率 $v_{bottom}$，進而求得其向心加速度 $a = \frac{v^2}{R}$ 的量值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（呼... 呼... 998... 999... 1000！把巨大的槓鈴重重放下）喂，那邊的小鬼，能解開這題，算你有幾分骨氣！這種像迴旋斬一樣的軌道，要是沒點覺悟可是會掉下來的。 聽好了，要在這種圓形軌道繞行，最危險的就是頂點。在最高點不掉下來的臨界條件是重力剛好提供向心力，即 $mg = \frac{mv_{top}^2}{R}$，得出 $v_{top}^2 = gR$。接著利用力學能守恆，最低點與最高點的高度差是 $2R$，所以： $$\frac{1}{2}mv_{bottom}^2 = \frac{1}{2}mv_{top}^2 + mg(2R)$$
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鉛直面圓周運動
💡 結合能量守恆與臨界速度求最低點運動狀態
- 最高點不脫離軌道的臨界速度為 $\sqrt{gR}$
- 利用力學能守恆，算出最低點速率平方為 $5gR$
- 最低點加速度為向心加速度，量值為 $v^2/R$
