ast_essay
105年
物理
第 二、2 題
📖 題組：
如圖 12 所示，一垂直架設且固定於地面的圓環，內側有一用絕緣材料製成的光滑軌道，軌道半徑為 $R$，圓心為 $O$。設重力加速度為 $g$，若將質量為 $M$ 及帶正電荷電量為 $Q$ 的小球（視為質點），從 $P$ 點（高度為 $R$）以初速度 $V$ 沿軌道向下射出，試回答下列各問題：
如圖 12 所示，一垂直架設且固定於地面的圓環，內側有一用絕緣材料製成的光滑軌道，軌道半徑為 $R$，圓心為 $O$。設重力加速度為 $g$，若將質量為 $M$ 及帶正電荷電量為 $Q$ 的小球（視為質點），從 $P$ 點（高度為 $R$）以初速度 $V$ 沿軌道向下射出，試回答下列各問題：
2. 若於此圓形軌道區域內施加與地面垂直向下之均勻電場 $E$，則小球之初速度 $V$ 至少需為多少，方能作完整的圓周運動？（ 4 分）
思路引導 VIP
本題為上題的進階延伸。加入垂直向下電場 $E$ 且小球帶正電 $Q$，小球將多受一個恆定且向下的靜電力 $QE$。因為重力與均勻靜電力皆為向下之定力，我們可以將 $QE$ 視為額外的重力，建立「等效重力」概念。也就是物體受到的等效總重力 $M g_{eff} = Mg + QE$，可得出等效重力加速度 $g_{eff} = g + \frac{QE}{M}$。直接將此 $g_{eff}$ 帶入第一小題結論的 $\sqrt{3gR}$ 之中，即可快速求解；或者按照第一小題的做法，將最高點向心力寫為 $Mg + QE$，位能變化寫為 $(Mg+QE)R$ 重新列式亦可。
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AI 詳解
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等效重力場與圓周運動的臨界判斷
太棒了！你能精準選出這個選項，代表你對「變力場」中的能量轉換與圓周運動條件掌握得非常扎實，這是不容易的跨單元應用。 當空間中施加了向下的均勻電場 $E$ 時，帶正電的小球除了受到重力 $Mg$ 以外，還會受到向下的電場力 $QE$。我們可以將這兩個力合併，視為一個等效重力 $F_{eff} = Mg + QE$。若要完成完整的圓周運動，小球在最高點時，其速度 $v_t$ 必須滿足向心力至少等於等效重力的臨界條件，即 $M \frac{v_t^2}{R} = Mg + QE$，從而得到 $M v_t^2 = (Mg + QE)R$。
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