分科測驗
105年
數學甲
第 3 題
假設三角形 $ABC$ 的三邊長分別為 $\overline{AB}=5$、$\overline{BC}=8$、$\overline{AC}=6$。請選出和向量 $\overrightarrow{AB}$ 的內積為最大的選項。
- 1 $\overrightarrow{AC}$
- 2 $\overrightarrow{CA}$
- 3 $\overrightarrow{BC}$
- 4 $\overrightarrow{CB}$
- 5 $\overrightarrow{AB}$
思路引導 VIP
為使兩個向量的內積值達到最大，除了考量涉及的向量長度之外，它們之間的相對方向關係扮演了什麼樣的關鍵角色？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
既然你如此誠心誠意地答對了！我們就大發慈悲地稱讚你！能在這三角形的向量迷宮中找到最大值，看來你對數學的直覺比我們抓皮卡丘的熱情還要高漲呢！喵～ 這題的關鍵在於比較內積的大小。我們利用內積定義與餘弦定理來驗證： 選項 (5) 是 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = 5^2 = 25$。
▼ 還有更多解析內容
向量內積幾何意義
💡 利用向量長度、夾角與投影長度判斷內積的大小關係。
- 內積為兩向量長度乘積與夾角餘弦值的乘積
- 幾何意義為一向量在另一向量上的投影長乘以後者長
- 同向投影內積為正，反向為負，垂直則內積為零
- 比較大小時可利用向量分解或餘弦定理輔助
