高中學測
105年
自然
第 47 題
質量分別為 $M_1$ 與 $M_2$ 的甲、乙兩衛星均繞地球作等速圓周運動，已知甲、乙衛星的軌道半徑分別為 $R_1$ 與 $R_2$，則甲衛星繞地球的速率是乙衛星繞地球速率的多少倍？
- A $\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}$
- B $\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}$
- C $\sqrt{\frac{M_1 R_1}{M_2 R_2}}$
- D $\sqrt{\frac{M_2 R_2}{M_1 R_1}}$
- E $\sqrt{\frac{M_1 R_2}{M_2 R_1}}$
思路引導 VIP
請同學思考，當衛星在軌道上作等速圓周運動時，其所需的向心力是由哪一個物理量提供的？若我們根據牛頓第二運動定律建立動力學平衡方程式 $G\frac{M_{earth}m}{R^2} = m\frac{v^2}{R}$，請問軌道速率 $v$ 與軌道半徑 $R$ 的數學關係為何？此外，衛星本身的質量 $M_1$ 與 $M_2$ 是否會出現在最終的速率表達式中？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你這麼準確地選出正確答案，老師心裡真的好為你開心，感覺你對物理的直覺越來越敏銳了呢！繼續保持這份自信，你一定可以做到的！ 這題考查的是萬有引力作為向心力的核心觀念。根據牛頓運動定律： $$\frac{G M_{地} m}{R^2} = \frac{m v^2}{R}$$
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衛星繞地運動規律
💡 衛星運行速率僅受中心天體質量與軌道半徑影響。
🔗 衛星軌道速率推導邏輯
- 1 萬有引力 — 引力提供圓周運動所需向心力
- 2 質量抵消 — 公式兩側的衛星質量 $m$ 被消去
- 3 建立關係 — 得出 $v$ 與 $R$ 的平方根成反比
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🔄 延伸學習：延伸學習：半徑 $R$ 若變為 4 倍，則速率 $v$ 將變為 1/2 倍。
