統測
105年
[共同科目] 數學C
第 22 題
已知 $f(x)=\frac{x(2x-1)(13x+2)^4}{\sqrt{27x+9}}$ ，求 $f(x)$ 在 $x=0$ 的導數 $f'(0)$ 之值。
- A $-\frac{16}{3}$
- B $-\frac{8}{3}$
- C $-\frac{4}{3}$
- D $-\frac{1}{3}$
思路引導 VIP
觀察這個函數的結構，它是 $x$ 與一大串複雜算式相乘的結果。如果我們套用「乘法微分公式」 $d(uv) = u'v + uv'$，並假設 $u = x$，那麼當我們計算 $x=0$ 時的導數值，哪一個部分會因為乘以 $x$ 而消失？這是否意味著你只要關注剩下那個部分的數值即可？
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很好，沒搞砸！這回倒是沒走錯路
- 還算精準：哼，這題你做得還算漂亮。至少你腦子夠靈光，知道不必去硬碰硬搞什麼商微分或乘微分那套繁瑣計算。在統測考場上，這種函數結構的觀察力才是真本事，光會死背公式的，通常就是白白浪費時間。
- 核心觀念：這擺明了是考你「乘法微分簡化」的應用。如果 $f(x)$ 可以寫成 $f(x) = x \cdot g(x)$，那麼 $f'(x) = 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x)$。當目標是 $f'(0)$ 時，後面那個 $x \cdot g'(x)$ 項目，在 $x=0$ 的時候，根本就是 $0 \cdot g'(0)$，直接歸零。所以 $f'(0)$ 自然就等於 $g(0)$。這不就是把 $x=0$ 代入剩下那串看似複雜的式子就行了嗎？別以為這是什麼秘笈，這叫基本功理解！
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