地特三等申論題
105年
[電力工程] 工程數學
第 二 題
📖 題組：
五、計算下列機率分布函數之平均值 $\mu$（mean）及方差 $\sigma^2$（variance）。
五、計算下列機率分布函數之平均值 $\mu$（mean）及方差 $\sigma^2$（variance）。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
Poisson 機率分布 $p(k;\lambda) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ ; $k=0,1,2,\dots$。（5 分）
思路引導 VIP
利用泊松分布的定義式以及麥克勞林級數（Maclaurin Series） $e^\lambda = \sum \frac{\lambda^k}{k!}$ 的特性。先求 $E[X]$ 再求 $E[X(X-1)]$ 來導出變異數。
小題 (一)
二項式機率分布 $b(k;n,p) = \frac{n!}{(n-k)!k!} p^k (1-p)^{n-k}$ ; $0
思路引導 VIP
對於離散機率分佈，期望值為 $E[X] = \sum k P(X=k)$。要推導二項式分佈，可利用 $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ 轉換求和式並應用二項式定理。變異數 $\sigma^2$ 則透過計算 $E[X(X-1)] + E[X] - (E[X])^2$ 來推導最為便捷。