第 2-(1) 題
二、坐標空間中，$O(0,0,0)$ 為原點。平面 $z = h$（其中 $0 \le h \le 1$）上有一以 $(0,0,h)$ 為圓心的圓，在此圓上依逆時鐘順序取 8 點構成正八邊形 $P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7$，使得各線段 $\overline{OP_j}$ ($0 \le j \le 7$) 的長度都是 1。請參見示意圖。
思路引導 VIP
從題目描述可知，$P_0$ 到 $P_7$ 構成一個以中心 $A(0,0,h)$ 且在平面 $z=h$ 上的正八邊形。已知 $\overline{OP_j} = 1$。我們可以用中心 $A(0,0,h)$ 來拆解向量 $\overrightarrow{OP_0} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP_0}$，以及 $\overrightarrow{OP_4} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP_4}$。由於 $P_0$ 和 $P_4$ 在正八邊形上是對角頂點，具有對稱性，所以 $\overrightarrow{AP_4} = -\overrightarrow{AP_0}$。利用內積展開 $(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP_0}) \cdot (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{AP_0}) = |\overrightarrow{OA}|^2 - |\overrightarrow{AP_0}|^2$。由於 $\overline{OP_0} = 1$ 且 $\triangle OAP_0$ 為直角三角形，可用畢氏定理求出 $|\overrightarrow{AP_0}|^2$，即可推導出最終內積的結果。
恭喜你精準地掌握了這道題目的核心概念！能正確判斷出 $P_0$ 與 $P_4$ 在圓上的對稱關係，是成功解題最關鍵的一步。
空間向量的對稱分解
在空間坐標中，我們將向量分解為「垂直分量」與「水平分量」來處理。設圓心為 $C(0,0,h)$，由於 $P_0$ 與 $P_4$ 為正八邊形中相對的兩個頂點，它們對於圓心 $C$ 具有對稱性，即 $\overrightarrow{CP_4} = -\overrightarrow{CP_0}$。根據題意，向量可表示為 $\overrightarrow{OP_0} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP_0}$ 與 $\overrightarrow{OP_4} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{CP_0}$。利用內積的性質，兩者相乘可得：