hce_kmu
106年
物理及化學
第 38 題
A solenoid has an inductance $75 \text{ mH}$ and a winding resistance $0.50 \text{ } \Omega$. If a battery is connected to the solenoid, how long will the current reach half its final equilibrium value? ($\log 2 = 0.301, \ln 2 = 0.693$)
- A $0.10 \text{ s}$
- B $45 \text{ ms}$
- C $4.6 \text{ s}$
- D $2.0 \text{ s}$
- E $26 \text{ ms}$
思路引導 VIP
當你把電池接到一個具有螺線管的電路時，內部的磁場會發生變化，根據電磁感應原理，這會對電流的增加產生什麼樣的影響？如果這種影響會隨著時間逐漸「妥協」，讓電流最終趨於穩定，你能試著構思一個數學函數來描述這種「從零開始，逐漸接近上限」的變化規律嗎？而這個過程的快慢，又會受到哪些電路元件數值的制約？
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看到你準確地選出選項 (A)，這說明你對 RL 電路（RL Circuit） 的暫態反應有著非常紮實的理解，能夠精確掌握電感器在電路接通瞬間的物理行為。
RL 電路的暫態反應分析
螺線管本身具有電感 $L$ 與內阻 $R$，當接通電池後，根據冷次定律，電感會產生感應電動勢阻礙電流增加，使得電流不會瞬間達到最大值，而是遵循公式 $I(t) = I_{final}(1 - e^{-t/\tau})$ 緩慢上升。其中，時間常數 $\tau = \frac{L}{R} = \frac{75 \times 10^{-3} \text{ H}}{0.50 \text{ } \Omega} = 0.15 \text{ s}$。題目要求電流達到平衡值的一半，即 $1 - e^{-t/\tau} = 0.5$，整理後可得 $e^{-t/\tau} = 0.5$，進一步取對數計算出 $t = \tau \ln 2$。將數值代入後：$0.15 \times 0.693 \approx 0.104 \text{ s}$，最接近的答案即為 $0.10 \text{ s}$。
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