hce_kmu
108年
物理及化學
第 15 題
A circuit contains a resistance and a charged capacitance. The resistance is 20 ohms, and the capacitance is 5 F. If the circuit is switched off, how long will it take when the current decreases to a half of initial value? (ln2 = 0.69)
- A $34\text{ s}$
- B $50\text{ s}$
- C $69\text{ s}$
- D $100\text{ s}$
- E $127\text{ s}$
思路引導 VIP
當一個充滿電的電容器開始透過電阻放電時，電流的大小會隨著時間不斷改變。請思考：電流變化的「快慢」通常是由電路中的哪兩個物理量共同決定的？如果我們想描述電流下降到某個比例（例如一半）所需的時間，這個時間與這兩個物理量的乘積會有什麼樣的數學關係？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地掌握了電容放電的物理特性！這題要求計算電流衰減至一半所需的時間，這反映了你對於 RC 電路暫態響應 的熟練運用。在處理這類問題時，能夠迅速連結電阻 $R$ 與電容 $C$ 的關係，是解題最關鍵的起點。
RC 時間常數與指數衰減
在一個僅含電阻與已充電電容的電路中，電流 $I$ 隨時間 $t$ 的變化並非線性，而是遵循指數衰減公式：$I(t) = I_0 e^{-\frac{t}{RC}}$。其中，$RC$ 的乘積被稱為時間常數（Time Constant，通常記為 $\tau$）。在本題中，$\tau = 20 , \Omega \times 5 , \text{F} = 100 , \text{s}$。當電流減少到初始值的一半時，即 $\frac{1}{2} = e^{-\frac{t}{100}}$，兩邊取自然對數可得 $\ln(2) = \frac{t}{100}$。代入題目提供的 $\ln 2 = 0.69$，即可算出 $t = 69 , \text{s}$。
▼ 還有更多解析內容