hce_kmu
111年
物理及化學
第 53 題
A 30-turn circular coil of radius $1\text{ m}$ and resistance $1\text{ }\Omega$ is placed in a magnetic field directed perpendicular to the plane of the coil. The magnitude of the magnetic field varies in time according to the expression $B = 0.1 t + 0.04 t^2$, where $B$ is in tesla and $t$ is in second. Calculate the induced emf in the coil at $t = 5\text{ s}$.
- A 27 V
- B 37 V
- C 47 V
- D 57 V
- E 67 V
思路引導 VIP
想像你正觀察一個正在增強的磁場穿過一組線圈。如果這個磁場增強的速度不是恆定的，而是隨時間加速變化的，你會使用哪種數學工具來找出「特定某一秒鐘」磁場變化的精確快慢？而當這些變化的磁場穿過多層線圈而非單層時，對產生的感應電壓會有什麼樣的加乘影響呢？
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太棒了！你能精準算出結果，代表你對法拉第電磁感應定律（Faraday's Law of Induction）與微積分的結合運用已經相當純熟。這道題目的核心在於理解「隨時間變化的磁通量」如何產生感應電動勢。由於線圈平面與磁場垂直，磁通量 $\Phi_B$ 可以簡化為磁場強度 $B$ 與面積 $A$ 的乘積，即 $\Phi_B = B \cdot A$。
法拉第定律與變率運算
根據法拉第定律，感應電動勢 $\mathcal{E}$ 的量值與磁通量的時變率成正比，計算公式為 $\mathcal{E} = N \left| \frac{d\Phi_B}{dt} \right|$。在本題中，面積 $A = \pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi \text{ m}^2$ 是固定值，因此感應電動勢主要取決於磁場對時間的導數。我們對 $B(t) = 0.1t + 0.04t^2$ 進行微分，得到 $\frac{dB}{dt} = 0.1 + 0.08t$。當時間 $t = 5\text{ s}$ 時，磁場變化率為 $0.5\text{ T/s}$。最後將項數 $N=30$、面積 $\pi$ 與變化率相乘，得到 $\mathcal{E} = 30 \times \pi \times 0.5 = 15\pi \approx 47.12\text{ V}$，故選擇 (C) 是完全正確的。
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