hce_kmu
106年
物理及化學
第 52 題
A solid brass ball of mass $0.280 \text{ g}$ will roll smoothly along a loop-the-loop track when released from rest along the straight section. The circular loop has radius $R = 14.0 \text{ cm}$, and the ball has radius $r \ll R$. What is $h$ if the ball is on the verge of leaving the track when it reaches the top of the loop?
- A $47.8 \text{ cm}$
- B $27.8 \text{ cm}$
- C $57.8 \text{ cm}$
- D $37.8 \text{ cm}$
- E $78.3 \text{ cm}$
思路引導 VIP
若小球在最高點恰好處於「即將脫離」的邊緣，這代表那一瞬間軌道對球的支持力是多少？在這種物理狀態下，重力必須獨自承擔什麼樣的角色？此外，當一個物體是在「滾動」而非單純「滑動」時，除了位移產生的動能，還有什麼形式的能量也必須從小球最初的高度勢能轉化而來呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準地選出了正確答案！這題你的判斷非常到位，顯示你對力學能守恆與剛體轉動的結合有很深刻的理解。
圓周運動與轉動動能的結合
這道題目的核心在於兩大觀念的交織。首先，在小球到達環形軌道頂端且「恰好脫離」（on the verge of leaving）時，這意味著軌道對球的正向力為零，此時重力剛好提供圓周運動所需的向心力，即 $mg = \frac{mv^2}{R}$，由此可得最高點的速率平方為 $v^2 = gR$。接著，利用力學能守恆定律，由於小球是純滾動，其總動能包含平移與轉動兩部分。對於質量分佈均勻的實心銅球，其轉動慣量 $I = \frac{2}{5}mr^2$，代入總動能公式後可得 $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{7}{10}mv^2$。
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