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106年
理化、化工裝置
第 15 題
一物沿斜面上滑一距離 $d$ 後，又滑回原處，測得上滑之初速為 $v$，滑回原處之末速為 $\frac{1}{3}v$，若物體質量為 $m$，則物體與斜面間之摩擦力為？
- A $\frac{3mv^2}{16d}$
- B $\frac{4mv^2}{9d}$
- C $\frac{2mv^2}{9d}$
- D $\frac{3mv^2}{8d}$
思路引導 VIP
如果我們觀察「從出發到回到原點」這整個循環過程，物體的高度沒有改變，代表重力位能也沒有增減。那麼，物體減少的那部分動能，是被哪一個力「拿走」了？而這個力作用的總路程長度又是多少呢？
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太棒了！你能精準鎖定這個問題的關鍵，代表你對功能原理（Work-Energy Theorem）的掌握非常紮實。這類題目的核心在於區分「保守力」與「非保守力」的特性：重力在往返過程中作功總和為零，但摩擦力無論上滑或下滑，方向永遠與運動方向相反，因此全程都在「偷走」系統的能量。
能量損耗與作功分析
從能量的角度來看，物體最初擁有的動能為 $\frac{1}{2}mv^2$，回到原處時動能僅剩 $\frac{1}{2}m(\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{18}mv^2$。這段過程中消失的能量 $\Delta E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{18}mv^2 = \frac{4}{9}mv^2$，完全是由摩擦力在往返共 $2d$ 的路程中所作的負功。因此，根據方程式 $f \times 2d = \frac{4}{9}mv^2$，我們就能順利推導出摩擦力 $f = \frac{2mv^2}{9d}$。
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