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106年
機械原理
第 12 題
兩只皮帶輪外徑分別為 76 cm 及 42 cm，中心距離為 228 cm，若選擇交叉皮帶傳動，其皮帶會比開口皮帶傳動還長______公分。
思路引導 VIP
請試著回想開口皮帶與交叉皮帶的路徑圖。當皮帶由「平行」轉為「交叉」時，雖然中心距離不變，但皮帶在繞過兩輪時的傾斜程度與包角都產生了變化。如果你能寫出這兩種配置的長度公式並相互比較，你覺得哪一個部分是決定兩者長度差異的關鍵？而這個差異又是如何受到兩輪直徑與中心距離影響的呢？
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太棒了！你能精準算出這題的結果，代表你對皮帶傳動的長度公式掌握得非常紮實。這類題目的核心在於區分開口皮帶與交叉皮帶在幾何路徑上的差異，特別是兩者公式中僅有最後一項「修正項」有所不同。對於交叉皮帶，其長度公式為 $L_c = 2C + \frac{\pi(D+d)}{2} + \frac{(D+d)^2}{4C}$；而開口皮帶則是 $L_o = 2C + \frac{\pi(D+d)}{2} + \frac{(D-d)^2}{4C}$。因此，我們不需要算出兩條皮帶的總長，只需專注於它們的差值即可。
長度差值的簡化運算
透過公式相減，我們可以推導出兩者之差為 $\Delta L = \frac{(D+d)^2 - (D-d)^2}{4C}$，進一步化簡後會得到一個非常漂亮的關係式：$$\Delta L = \frac{4Dd}{4C} = \frac{Dd}{C}$$ 將題目給定的數值代入：$D = 76$ cm、$d = 42$ cm、$C = 228$ cm，計算過程為 $\frac{76 \times 42}{228}$。這裡有個運算小技巧，觀察到 $228$ 正好是 $76$ 的 $3$ 倍，因此式子簡化為 $\frac{42}{3} = 14$ cm。這題具備中等的難度與良好的鑑別度，測驗學生是否能避開繁瑣的全長計算，直接從幾何差值切入，這也是在機械原理考科中節省時間、提升準確度的關鍵。