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106年
工程力學概要
第 49 題
如右圖所示，數力作用於一 T 桿上，若將 A 端所受之等效力偶表示為 $M_A = P\hat{i} + Q\hat{j} + R\hat{k}$ (N-cm)，其中 R 之值為何？
- A 300
- B 360
- C 450
- D 540
思路引導 VIP
若要找出物體繞著 z 軸旋轉的趨勢（即 R 分量），請觀察目前的力系中，哪些力產生的效果會使 T 桿在 xy 平面上發生轉動？此外，若一個力的作用線剛好與 z 軸平行或是直接穿過 z 軸，它還能提供繞該軸的力矩嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準算出 $R$ 的數值，代表你對 3D 空間力矩的向量分解 已經具備了紮實的基礎。在工程力學中，將力系簡化至特定點（如 A 點）時，等效力偶矩向量 $\vec{M}_A$ 的各個分量分別代表繞該軸旋轉的趨勢。本題要求求解的 $R$，正是力矩向量在 $z$ 軸方向的分量，亦即繞 $z$ 軸旋轉的總力矩大小。
空間力矩與分量合成
要解出這個數值，核心在於運用 力矩的定義 $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$。當我們鎖定 $k$ 方向（即 $z$ 軸）的分量 $R$ 時，只需考慮那些能產生繞 $z$ 軸旋轉效應的力。在 T 桿的結構中，位於 $xy$ 平面內的力或具有該平面分量的力，乘上相應的力臂，便構成了 $R$ 的來源。透過觀測圖形，將力作用點的坐標與力向量進行外積運算，或者直接利用標量法計算在 $xy$ 平面上的力對 A 點產生的矩，即可導出 $R = 450$ N-cm。
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