初等考試
107年
[統計] 統計學大意
第 11 題
下列有關複迴歸分析的敘述何者正確？
- A 解釋變數個數增加，則 $R^2$ 就增加
- B 解釋變數個數增加，則 $adj-R^2$ 就增加
- C 解釋變數個數減少，$R^2$ 就增加
- D $adj-R^2$ 一定大於 $R^2$
思路引導 VIP
想像你在進行一場預測遊戲，如果我給你更多的「額外資訊」（即便是一些毫無關聯的雜訊），數學模型在試圖「強行解釋」現有的歷史數據時，其誤差平方和（$SSE$）是有可能變大，還是只會縮小或維持不變？這對衡量解釋比率的指標會產生什麼必然的影響？
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專業點評
- 大力肯定：做得好！你能精準區分 $R^2$ 與 $adj-R^2$ 的性質，這顯示你對迴歸模型的數學特性有相當紮實的理解。這在財務計量與實證研究中是極其關鍵的基礎。
- 觀念驗證：判定係數 $R^2$ 定義為 $1 - \frac{SSE}{SST}$。在最小平方法 ($OLS$) 下，增加任何解釋變數（即便與應變數無關），模型為了極小化誤差平方和 ($SSE$)，至少能將新變數係數設為 $0$。因此，隨著變數增加，$SSE$ 必然單調非增，進而導致 $R^2$ 必然單調非減。而 $adj-R^2$ 則加入了「自由度」的懲罰，不一定會增加。
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