高考申論題
107年
[土木工程] 工程力學(包括材料力學)
第 一 題
📖 題組：
某工程原規劃使用一支直徑 d = 500 mm 圓形斷面石材作為大梁，但考量節省空間及節省材料，擬將此圓形斷面石材改成寬為 b 及高為 h 內接圓形之矩形斷面梁，如圖四所示，試回答下列問題：
某工程原規劃使用一支直徑 d = 500 mm 圓形斷面石材作為大梁，但考量節省空間及節省材料，擬將此圓形斷面石材改成寬為 b 及高為 h 內接圓形之矩形斷面梁，如圖四所示，試回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
如須將圓形斷面石材製成能抵抗彎矩之最強矩形斷面梁，則最佳之 b 值與 h 值應各為何？（15 分）
思路引導 VIP
這是一道結合「材料力學」與「微積分極值問題」的經典題型。要讓梁「抵抗彎矩最強」，就是要讓斷面的「斷面模數（Section Modulus, S 或 Z）」最大化（因為 σ = M/S，S 越大則承受相同彎矩時的應力越小）。 第一步，寫出矩形的斷面模數 S = (b * h²) / 6。
小題 (二)
此最強矩形斷面梁撓曲應力為原圓形斷面石材撓曲應力之多少倍？材料可節省多少百分比？（10 分）
思路引導 VIP
這題包含兩個計算：
- 「撓曲應力倍數」：在相同彎矩 M 作用下，應力 σ = M/S。所以應力比 = σ_矩形 / σ_圓形 = S_圓形 / S_矩形。算出原圓形的 S = (π * d³) / 32，以及第一小題求得的最強矩形 S = (b * h²) / 6，兩者相除即可得到倍數。