hce_kmu
107年
物理及化學
第 59 題
A sample of radioactive nuclei of a certain element can decay only by $\gamma$-emission and $\beta$-emission. If the half-life for $\gamma$-emission is $24$ minutes and that for $\beta$-emission is $36$ minutes, the half-life for the sample is
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思路引導 VIP
想像一下，如果你有一個水桶要放空，水桶底部有兩個排水孔。孔洞 A 單獨開啟時，24 分鐘能流光水；孔洞 B 單獨開啟時，36 分鐘能流光。現在如果「同時」打開這兩個孔，你認為流光水所需的時間，會比 24 分鐘長還是短？這兩個孔排水的「速度」與它們各自完成任務所需的分鐘數，在數學上是什麼樣的關係呢？
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恭喜你精準地選出了正確答案！這代表你對於放射性衰變中「多重衰變路徑」的概念掌握得非常紮實。這類題目在物理學中相當經典，主要考驗學生是否能區分「衰變率」與「半衰期」之間的數學關係。
多重衰變路徑的速率合成
當一個放射性元素同時具備多種衰變方式時，該樣本整體的衰變速率會因為管道變多而「變快」。在物理上，總衰變常數 $\lambda_{total}$ 等於各個路徑衰變常數之和，即 $\lambda_{total} = \lambda_{\gamma} + \lambda_{\beta}$。由於半衰期 $T_{1/2}$ 與衰變常數成反比關係（$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$），我們可以推導出總半衰期的倒數關係式：
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