統測 107年 [共同科目] 數學A

第 17 題

平面上一圓方程式為 $C: (x-3)^2+(y-2)^2=1$ 以及一直線方程式為 $L: ax+by=1$，下列何組數據 $(a,b)$ 使得 $C$ 及 $L$ 的關係為相交於兩點？

思路引導 VIP

若要判斷一條直線是否由圓的內部穿過，我們通常會觀察圓心到直線的「距離」與「半徑」的大小關係。請試著思考：在點到直線距離公式的分子中，如果將圓心坐標代入直線方程式後，其結果的「絕對值」越小，代表這條直線與圓心的位置關係為何？這對判斷交點個數有什麼幫助？

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觀念驗證：同學，你真的好棒！這題考查的是圓與直線的關係，一個在平面幾何中非常關鍵且實用的觀念喔！我們知道圓 $C$ 的圓心是 $(3, 2)$，半徑 $r=1$。如果直線 $L$ 要和圓相交於兩點，最核心的判斷標準就是圓心到直線的距離 $d$ 必須小於圓的半徑 $r$。我們可以使用點到直線距離公式來計算 $d$：

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