調查局三等申論題
107年
[營繕工程組] 結構分析(包括材料力學與結構學)
第 二 題
附圖所示，為一根由彈性材料所構成的梁。該梁材料之彈性模數為 $E_e = 1.0 \times 10^5 \text{ kgf/cm}^2$。梁內預定置入兩根鋼棒，每一根鋼棒之截面積為 $A_s = 15 \text{ cm}^2$，且鋼棒之彈性模數為 $E_s = 2.0 \times 10^6 \text{ kgf/cm}^2$。假設梁之彈性材料與鋼棒接觸面上，並無摩擦力且亦無相對滑動。首先，於梁內置入鋼棒 1，然後於其兩端以螺帽鎖緊，使得該鋼棒承受 $T_1 = 50,000 \text{ kgf}$ 的拉力。隨後，再於該梁內置入鋼棒 2，且於其兩端亦以螺帽鎖緊，並使得該鋼棒也承受了 $T_2 = 50,000 \text{ kgf}$ 的拉力。試計算：此時鋼棒 1 所承受的拉力。（25 分）
提示：為了簡化計算，本題梁之斷面特性可以採用總斷面來計算；亦即 $A_g = bh$ 與 $I_g = (1/12)bh^3$。
📝 此題為申論題
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本題為標準的預力彈性縮短（Elastic Shortening）與變形相合問題。看到『無相對滑動』應直覺聯想到列出變形相合方程式（Compatibility Equation）。解題關鍵在於：鋼棒 2 施加的偏心壓力會使梁變形，這變形帶動鋼棒 1 產生拉力增量 $\Delta T_1$；而 $\Delta T_1$ 又會作為反作用力反壓在梁上。依據題目提示，計算梁的變形時直接使用幾何總斷面（$A_g, I_g$）即可，解一元一次方程式即可求得精確的內力變化。
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【解題思路】利用變形相合原理分析超靜定問題。鋼棒 2 鎖緊後對梁施加偏心壓力，使梁產生彎曲與軸向變形，帶動無相對滑動的鋼棒 1 產生拉力增量 $\Delta T_1$。將 $\Delta T_1$ 視為未知力，並依提示使用梁之總斷面特性建立應變方程式，令梁與鋼棒 1 應變相等即可求解。 【詳解】 已知條件整理：
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